Nature d'un quadrilatère (3) - Corrigé

Énoncé

1. Dans le plan complexe, placer les points \(\text M(\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{5}i) , \text N(6+3i) , \text P(10-2i)\) et \(\text Q(\dfrac{9}{2}-\dfrac{32}{5} i)\) .

2. Conjecturer la nature du quadrilatère \(\text M\text N\text P\text Q\) .

3. Calculer \(\text M\text N ,\text N\text P ,\text P\text Q ,\text Q\text M ,\text M\text P\)  et `NQ` .

4. Valider ou invalider la conjecture de la question 2.

Solution

1.

2. On conjecture que \(\text M\text N\text P\text Q\) est un rectangle.

3. \(z_{\vec{\text M\text N}} = z_\text N - z_\text M = 6+3i - \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{5}i \right) = \dfrac{11}{2} + \dfrac{22}{5} i\)
Donc \(\text M\text N = \sqrt{\left( \dfrac{11}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{22}{5} \right)^2} = \sqrt{\dfrac{4\,961}{100}} = \dfrac{11 \sqrt{41}}{10}\) .
Après calcul, on trouve ``   \(\text M\text N= \text P\text Q\) .
\(z_\text P - z_\text N = 10-2i -(6+3i) = 4-5i\)
\(z_\text M - z_\text Q = \dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{5}i - \left( \dfrac{9}{2} - \dfrac{32}{5} i \right) = 5i -4\)
Donc \(\text N\text P = \text M\text Q = \sqrt{5^2+4^2} = \sqrt{41}\) .
Et  \(z_\text M - z_\text P = \dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{5}i -(10-2i) = - \dfrac{19}{2} + \dfrac{3}{5} i\)
et \(\text M\text P = \dfrac{\sqrt{9\,061}}{10}\)
Et  \(z_\text Q - z_\text N = \dfrac{9}{2} - \dfrac{32}{5}i -(6+3i) = - \dfrac{3}{2} - \dfrac{47}{5}i\)  

Donc \(\text Q\text N = \dfrac{\sqrt{9\,061}}{10}\) .

4. On a  \(\text M\text N= \text P\text Q\)   et \(\text N\text P = \text M\text Q\)  donc \(\text M\text N\text P\text Q\)   est un parallélogramme.
Et comme ses diagonales \([\text N\text P]\) et \([\text Q\text M]\) ont la même longueur, \(\text M\text N\text P\text Q\) est un carré.